行间公式索引

这部分是教材第二大部分的标题和目录。它概述了接下来将要学习的核心主题。这三个概念——置换、陪集和直积——是深入理解群论，特别是有限群结构的关键工具。

1. 置换 (Permutations)：这是研究群论的一个非常具体和重要的切入点。置换本质上是集合元素的重新排列。我们将看到，所有有限群都可以被看作是某种置换群的子群（这被称为凯莱定理），这使得置换群成为研究所有群的“通用模型”。第8节和第9节将深入探讨这个主题。
2. 陪集 (Cosets)：陪集是子群在群中“平移”所形成的集合。这个概念是拉格朗日定理的基石。拉格朗日定理是有限群论中最基本的定理之一，它指出有限群的子群的阶（元素个数）必须整除整个群的阶。这是理解有限群结构的第一步。第10节将重点讲解。
3. 直积 (Direct Products)：直积是一种将多个较小的群“粘合”在一起构成一个更大、更复杂的群的方法。反过来，它也允许我们将一个复杂的群分解为一些更简单的群的“乘积”。这对于群的分类和结构分析至关重要，特别是对于有限生成阿贝尔群，有一个非常漂亮和完整的分解定理。第11节将介绍这个强大的工具。
4. 平面等距变换 (Plane Isometries)：这是一个将抽象的群论概念应用于具体几何问题的例子，展示了群论如何描述对称性。

这部分是第8节的引言，旨在建立置换群的直观概念，并将其与我们已经学过的群联系起来。

1. 回顾已知群类型：
   • 数群：像整数集 $\mathbb{Z}$、有理数集 $\mathbb{Q}$、实数集 $\mathbb{R}$ 在加法运算下构成的群。这些群的元素是数字，运算是算术运算。它们都是阿贝尔群（交换群）。
   • 矩阵群：像 $GL(2, \mathbb{R})$（所有 $2 \times 2$ 的实数可逆矩阵在矩阵乘法下构成的群）。这类群的元素是矩阵，运算是矩阵乘法。它们通常是非阿贝尔群。
2. 群的作用 (Action)：作者特别指出了矩阵群的一个重要特性：它的元素可以“作用”于其他对象。例如，一个 $2 \times 2$ 矩阵 $A$ 可以左乘一个平面上的向量 $\mathbf{x}$，将其变换成另一个向量 $A\mathbf{x}$。这个“作用”本身就是一个函数。这为我们提供了一种新的视角来看待群：群的元素是变换，群的运算是变换的复合（即连续施加变换）。
3. 引入置换：
   • 直观定义：置换就是一个集合内元素的“重新排列”。比如，集合 $\{1,2,3,4,5\}$ 重新排列成 $\{4,2,5,3,1\}$。
   • 函数视角：这种“重新排列”可以看作一个函数。对于上面的例子，这个函数把 1 映到 4，2 映到 2，3 映到 5，4 映到 3，5 映到 1。
   • 关键性质：一个映射要成为一个置换，必须满足两个条件：
4. 本节目标：
   • 构造一些由置换组成的有限群。
   • 这些群将是有限非阿贝尔群的典型例子（我们之前遇到的有限群，如 $\mathbb{Z}_n$，都是阿贝尔群）。
   • 引出凯莱定理：任何有限群都和某个置换群在结构上是等价的（同构）。
   • 作者谦虚地提到，虽然凯莱定理听起来很强大，但在实际解决问题时，它的直接应用并不多。因为它只是告诉我们存在这样一个置换群，但这个置换群可能非常巨大和复杂，不便于分析。

这是对置换的严格数学定义。让我们逐项拆解这个定义：

1. 一个函数 $\phi: A \rightarrow A$：
   • 这明确了置换首先是一个函数。函数是一种规则，它为定义域中的每一个元素都指定了值域中一个唯一的元素。
   • $\phi: A \rightarrow A$ 表示这个函数的定义域（输入集合）和共域（可能的输出集合）是同一个集合 $A$。这意味着置换是在一个集合内部进行的操作，它把集合的元素映射回这个集合自身。
2. 一对一 (one-to-one / injective)：
   • 这个性质意味着，如果输入的元素不同，那么输出的元素也一定不同。
   • 形式化地讲，如果 $a_1 \neq a_2$（其中 $a_1, a_2 \in A$），那么必然有 $\phi(a_1) \neq \phi(a_2)$。
   • 换一种等价的说法（逆否命题），如果 $\phi(a_1) = \phi(a_2)$，那么必然有 $a_1 = a_2$。
   • 直观上，这意味着没有“碰撞”或“合并”。不同的元素不会被映射到同一个元素上。
3. 满射 (onto / surjective)：
   • 这个性质意味着，在共域 $A$ 中的任何一个元素，都至少有一个定义域 $A$ 中的元素与之对应。
   • 形式化地讲，对于任何 $b \in A$，都存在至少一个 $a \in A$，使得 $\phi(a) = b$。
   • 直观上，这意味着映射的结果覆盖了整个目标集合，没有任何一个元素被“遗漏”。
4. 双射 (bijection)：一个既是一对一又是满射的函数，被称为双射函数或一一对应。因此，集合 $A$ 的一个置换本质上就是 $A$ 上的一个双射函数。

这部分的核心任务是定义置换之间的运算，并证明这个运算是封闭的，即两个置换“相乘”的结果仍然是一个置换。这是构建一个群的第一步（满足群公理的闭包性）。

1. 定义运算为函数复合：
   • 既然置换是函数，那么最自然的运算就是函数复合。
   • 置换乘法这个术语就是指函数复合，记作 $\sigma \tau$，它的意思是“先施加置换 $\tau$，再施加置换 $\sigma$”。
   • 重要：运算顺序是从右向左！$(\sigma \tau)(a) = \sigma(\tau(a))$。这与我们习惯的从左到右阅读相反，需要特别注意。
2. 证明闭包性：
   • 我们需要证明，如果 $\sigma$ 和 $\tau$ 都是置换，那么它们的复合 $\sigma \tau$ 也一定是一个置换。
   • 根据定义，就是要证明 $\sigma \tau$ 既是一对一的，又是满射的。
   • 证明 $\sigma \tau$ 是一对一：
   • 我们的目标是证明：如果 $(\sigma \tau)(a_1) = (\sigma \tau)(a_2)$，那么必然 $a_1 = a_2$。
   • 步骤1: 根据函数复合的定义，$(\sigma \tau)(a_1) = \sigma(\tau(a_1))$ 和 $(\sigma \tau)(a_2) = \sigma(\tau(a_2))$。所以假设变成了 $\sigma(\tau(a_1)) = \sigma(\tau(a_2))$。
   • 步骤2: 我们知道 $\sigma$ 是一个置换，所以它本身是一对一的。根据一对一的定义，如果 $\sigma(x) = \sigma(y)$，则 $x=y$。在这里，把 $\tau(a_1)$ 看作 $x$，把 $\tau(a_2)$ 看作 $y$。因此，从 $\sigma(\tau(a_1)) = \sigma(\tau(a_2))$ 我们可以推断出 $\tau(a_1) = \tau(a_2)$。
   • 步骤3: 我们又知道 $\tau$ 也是一个置换，所以它也是一对一的。因此，从 $\tau(a_1) = \tau(a_2)$ 我们可以推断出 $a_1 = a_2$。
   • 结论: 我们成功地从 $(\sigma \tau)(a_1) = (\sigma \tau)(a_2)$ 推出了 $a_1 = a_2$。所以 $\sigma \tau$ 是一对一的。这个证明过程就像剥洋葱，从外层的 $\sigma$ 开始，利用其性质，剥掉一层，再利用内层 $\tau$ 的性质，得到最终结论。

• 证明 $\sigma \tau$ 是满射：
• 我们的目标是证明：对于集合 $A$ 中的任意一个元素 $a$，我们都能在 $A$ 中找到一个元素 $a''$，使得 $(\sigma \tau)(a'') = a$。
• 步骤1: 从目标 $a$ 出发。因为我们知道 $\sigma$ 是满射的，所以对于这个 $a \in A$，一定存在一个 $a' \in A$，使得 $\sigma(a')=a$。也就是说， $a$ 是由 $a'$ 通过 $\sigma$ 映射过来的。
• 步骤2: 现在我们有了 $a'$。因为我们知道 $\tau$ 也是满射的，所以对于这个 $a' \in A$，一定存在一个 $a'' \in A$，使得 $\tau(a'') = a'$。也就是说， $a'$ 是由 $a''$ 通过 $\tau$ 映射过来的。
• 步骤3: 把这两步串联起来：$(\sigma \tau)(a'') = \sigma(\tau(a'')) = \sigma(a') = a$。
• 结论: 我们成功地为任意的 $a$ 找到了它的“原像” $a''$。所以 $\sigma \tau$ 是满射的。这个证明过程像是在“倒带”，从最终结果 $a$ 出发，一步步往前找它的来源。

这部分历史注解追溯了“置换”这一概念的演变历程，展示了它如何从一个神秘主义和组合计数的问题，逐渐发展成为现代抽象代数的核心工具。

1. 早期阶段：组合计数与神秘主义
   • 源头: 《Sefer Yetsirah》（创造之书），一部古老的犹太神秘主义文献。
   • 动机: 当时的人们认为字母有魔力，通过排列字母可以获得神秘力量。这驱使他们去研究“排列”的可能性。
   • 成就: 认识到 $n$ 个不同事物有 $n!$ (n的阶乘) 种排列方式。书中给出了 $n=2, 3, 4, 5, 6, 7$ 的例子：$2!=2, 3!=6, 4!=24, 5!=120, 6!=720, 7!=5040$。
   • 并行发展: 类似的计数思想也在同期的伊斯兰数学中出现。
   • 十三世纪的成熟: 到了13世纪，像 ibn al-Banna 和 Levi ben Gerson 这样的数学家已经能够严格证明“$n$ 个元素的排列数是 $n!$”这一公式，并研究相关的组合问题。
   • 核心思想: 在这个阶段，置换被看作是一个静态的“排列结果”。重点在于“有多少种不同的排列”。
2. 转折点：函数视角与方程求解
   • 推动力: 18世纪后期，数学家们（如拉格朗日）在研究高次多项式方程的求根公式时遇到了困难。
   • 新的视角: 他们发现，方程的根之间存在某种对称性。如果你交换（置换）这些根，某些关于根的表达式会保持不变。
   • 关键转变: 拉格朗日首次将置换看作是一个动态的过程或函数。这个函数作用于方程的根的集合上，把一个根变成另一个根。这与我们刚刚学习的定义8.3完全一致。
   • 核心思想: 置换不再仅仅是一个排列结果，而是一个“造成排列的动作”或“函数”。
3. 系统化：置换理论的建立
   • 关键人物: 柯西 (Augustin-Louis Cauchy)。
   • 贡献: 在19世纪，柯西系统地研究了置换作为函数的性质，发展了置换理论的许多基本定理（我们将在后续章节学习，如循环分解）。
   • 标准化: 柯西还引入了我们今天仍在使用的许多标准符号来表示置换（例如我们即将看到的双行表示法）。

这个例子是本节的第一个计算实例，它演示了两件事：

1. 置换的标准表示法：引入了柯西发明的“双行表示法”。
2. 置换乘法的具体计算：手把手教我们如何计算两个用双行表示法写出的置换的乘积。

1. 双行表示法

• 格式: $\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \dots & a_n \\ b_1 & b_2 & \dots & b_n \end{pmatrix}$
• 含义: 这种表示法非常直观。第一行按顺序列出集合的所有元素。第二行在每个元素的正下方写出它被置换映射到的结果。
• 例如，$\sigma=\left(\begin{array}{lllll} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 2 & 5 & 3 & 1 \end{array}\right)$ 的意思就是：
• $\sigma(1) = 4$ (1的下面是4)
• $\sigma(2) = 2$ (2的下面是2)
• $\sigma(3) = 5$ (3的下面是5)
• $\sigma(4) = 3$ (4的下面是3)
• $\sigma(5) = 1$ (5的下面是1)

这比之前用箭头列出的方式更紧凑、更标准化。

2. 计算置换乘积 $\sigma \tau$

• 核心法则: 永远记住，$\sigma \tau$ 意味着 先算 $\tau$，后算 $\sigma$。
• 计算步骤: 我们需要确定 $\sigma \tau$ 作用在集合 $\{1,2,3,4,5\}$ 中每个元素上的结果。
• 找 1 的像:

1. 看最右边的置换 $\tau$：$\tau$ 把 1 映射到 3。($1 \xrightarrow{\tau} 3$)
2. 然后看左边的置换 $\sigma$：$\sigma$ 把 3 映射到 5。($3 \xrightarrow{\sigma} 5$)
3. 连起来：$1 \xrightarrow{\tau} 3 \xrightarrow{\sigma} 5$。所以 $(\sigma \tau)(1) = 5$。
   • 找 2 的像:
4. 看 $\tau$：$\tau$ 把 2 映射到 5。($2 \xrightarrow{\tau} 5$)
5. 看 $\sigma$：$\sigma$ 把 5 映射到 1。($5 \xrightarrow{\sigma} 1$)
6. 连起来：$2 \xrightarrow{\tau} 5 \xrightarrow{\sigma} 1$。所以 $(\sigma \tau)(2) = 1$。
   • 找 3 的像:
7. 看 $\tau$：$\tau$ 把 3 映射到 4。($3 \xrightarrow{\tau} 4$)
8. 看 $\sigma$：$\sigma$ 把 4 映射到 3。($4 \xrightarrow{\sigma} 3$)
9. 连起来：$3 \xrightarrow{\tau} 4 \xrightarrow{\sigma} 3$。所以 $(\sigma \tau)(3) = 3$。
   • 找 4 的像:
10. 看 $\tau$：$\tau$ 把 4 映射到 2。($4 \xrightarrow{\tau} 2$)
11. 看 $\sigma$：$\sigma$ 把 2 映射到 2。($2 \xrightarrow{\sigma} 2$)
12. 连起来：$4 \xrightarrow{\tau} 2 \xrightarrow{\sigma} 2$。所以 $(\sigma \tau)(4) = 2$。
    • 找 5 的像:
13. 看 $\tau$：$\tau$ 把 5 映射到 1。($5 \xrightarrow{\tau} 1$)
14. 看 $\sigma$：$\sigma$ 把 1 映射到 4。($1 \xrightarrow{\sigma} 4$)
15. 连起来：$5 \xrightarrow{\tau} 1 \xrightarrow{\sigma} 4$。所以 $(\sigma \tau)(5) = 4$。
    • 整理结果: 把我们计算出的结果写成双行表示法：
    • 1 映到 5
    • 2 映到 1
    • 3 映到 3
    • 4 映到 2
    • 5 映到 4

这个定理是本节的核心结果：它正式确立了“置换群”的存在。定理声明，对于任何一个非空集合 $A$，它上面所有可能的置换所构成的集合 $S_A$，在以函数复合（即置换乘法）为运算的前提下，构成一个群。

证明过程是检验群的三个基本公理是否满足。（这里的 $\mathscr{G}_{1}, \mathscr{G}_{2}, \mathscr{G}_{3}$ 对应教材早期定义的群公理，我们逐一解释）

1. 闭包性 (Closure)

• 原文: "我们已经证明... $S_A$ 在置换乘法下是封闭的。"
• 解释: 这指的是在第4.1节中已经完成的证明。我们证明了两个置换（即双射函数）的复合结果仍然是一个置换（双射函数）。这意味着，如果你从 $S_A$ 中任意取出两个元素 $\sigma$ 和 $\tau$，它们的乘积 $\sigma \tau$ 必然也属于 $S_A$。所以封闭性成立。

2. 结合律 (Associativity) - $\mathscr{G}_{1}$

• 原文: "置换乘法被定义为函数复合，...函数复合是结合的。"
• 解释: 我们需要验证对任意三个置换 $\rho, \sigma, \tau \in S_A$，是否有 $(\rho \sigma) \tau = \rho (\sigma \tau)$。
• 让我们来验证一下。对于任意元素 $a \in A$：
• 左边：$((\rho \sigma) \tau)(a) = (\rho \sigma)(\tau(a)) = \rho(\sigma(\tau(a)))$
• 右边：$(\rho (\sigma \tau))(a) = \rho((\sigma \tau)(a)) = \rho(\sigma(\tau(a)))$
• 可以看到，两边对任何 $a$ 的作用结果都是一样的。因此 $(\rho \sigma) \tau = \rho (\sigma \tau)$ 成立。
• 这个性质本质上是函数复合这个操作本身所固有的，与置换的具体内容无关。只要是函数复合，就满足结合律。所以 $\mathscr{G}_{1}$ 成立。

3. 单位元的存在 (Identity Element) - $\mathscr{G}_{2}$

• 原文: "置换 $\iota$ 使得对于所有 $a \in A$，$\iota(a)=a$，作为单位元起作用。"
• 解释: 我们需要找到一个特殊的置换 $\iota \in S_A$，使得对于任何置换 $\sigma \in S_A$，都有 $\sigma \iota = \iota \sigma = \sigma$。
• 考虑这个函数：$\iota(a) = a$。它把每个元素都映射到它自身。这显然是一个置换（既一对一又满射），被称为恒等置换。
• 让我们验证它是否是单位元：
• $(\sigma \iota)(a) = \sigma(\iota(a)) = \sigma(a)$。所以 $\sigma \iota = \sigma$。
• $(\iota \sigma)(a) = \iota(\sigma(a)) = \sigma(a)$。所以 $\iota \sigma = \sigma$。
• 因此，恒等置换 $\iota$ 就是我们寻找的单位元。所以 $\mathscr{G}_{2}$ 成立。

4. 逆元的存在 (Inverse Element) - $\mathscr{G}_{3}$

• 原文: "对于置换 $\sigma$，逆函数 $\sigma^{-1}$ 是一个置换..."
• 解释: 对于每一个置换 $\sigma \in S_A$，我们需要找到一个对应的置换 $\sigma^{-1} \in S_A$，使得 $\sigma \sigma^{-1} = \sigma^{-1} \sigma = \iota$（单位元）。
• 构造逆元: 既然 $\sigma$ 是一个双射函数，在函数理论中我们知道双射函数必然存在逆函数 $\sigma^{-1}$。这个逆函数的作用是“撤销” $\sigma$ 的操作。如果 $\sigma(a')=a$，那么定义 $\sigma^{-1}(a)=a'$。
• 为什么 $\sigma^{-1}$ 存在且唯一且是置换?: 因为 $\sigma$ 是一对一的，所以对于每个输出 $a$，只有一个唯一的输入 $a'$ 与之对应，这保证了 $\sigma^{-1}$ 是一个函数。因为 $\sigma$ 是满射的，所以 $A$ 中的每个元素都是一个合法的输出，这保证了 $\sigma^{-1}$ 的定义域是整个 $A$。可以证明，一个双射函数的逆函数也必然是双射的，因此 $\sigma^{-1}$ 也是一个置换，属于 $S_A$。
• 验证逆元性质:
• $(\sigma \sigma^{-1})(a) = \sigma(\sigma^{-1}(a))$。设 $a' = \sigma^{-1}(a)$，那么根据逆函数定义，$\sigma(a')=a$。所以 $\sigma(\sigma^{-1}(a)) = \sigma(a') = a = \iota(a)$。因此 $\sigma \sigma^{-1} = \iota$。
• $(\sigma^{-1} \sigma)(a') = \sigma^{-1}(\sigma(a'))$。设 $a = \sigma(a')$，那么根据逆函数定义，$\sigma^{-1}(a)=a'$。所以 $\sigma^{-1}(\sigma(a')) = \sigma^{-1}(a) = a' = \iota(a')$。因此 $\sigma^{-1} \sigma = \iota$。
• 这就证明了每个置换都存在一个逆置换。所以 $\mathscr{G}_{3}$ 成立。

结论: 因为闭包性、结合律、单位元和逆元这四个条件全部满足，所以 $S_A$ 在置换乘法下构成一个群。

这部分包含一个重要的“警告”和一个关于置换群结构的关键洞察。

1. 警告：乘法顺序

• 核心问题: 置换乘法（即函数复合）的顺序在不同的教科书中可能定义不同。
• 本书的定义 (从右到左): $(\sigma \tau)(a) = \sigma(\tau(a))$。先应用右边的 $\tau$。这是函数领域的标准做法。
• 其他书籍的定义 (从左到右): 有些作者（特别是在一些较早的或特定应用领域的文献中）可能会定义 $(\sigma \tau)(a) = \tau(\sigma(a))$。先应用左边的 $\sigma$。
• 后果: 如果你用另一种定义，那么你计算出的 $\sigma \tau$ 将会是我们这本书里计算出的 $\tau \sigma$。
• 重要的是: 无论采用哪种定义，所有置换的集合依然构成一个群（练习51会让你证明这一点）。只是这两个群在具体乘积上是“镜像”的（专业术语叫反同构）。
• 给读者的建议: 当你参考其他资料时，必须首先确认其置换乘法的定义顺序，否则会造成巨大的混淆。

2. 置换群的结构只取决于基数

• 基数 (Cardinality): 指集合中元素的数量。
• 核心思想: 一个置换群 $S_A$ 的“群结构”（即它的乘法表的模式）到底是什么样的，只取决于集合 $A$ 有多少个元素，而完全不取决于这些元素本身是什么。
• 例子:
• 集合 $A = \{1, 2, 3\}$ 上的置换群 $S_A$。
• 集合 $B = \{\text{猫, 狗, 鱼}\}$ 上的置换群 $S_B$。
• 这两个群在结构上是完全一样的（同构）。你可以把 $S_A$ 的乘法表中的 1 全部换成“猫”，2 全部换成“狗”，3 全部换成“鱼”，得到的就正好是 $S_B$ 的乘法表。

3. 证明 $S_A \simeq S_B$ (如果 $|A|=|B|$)

• 同构的定义: 两个群 G 和 H 同构，意味着存在一个双射函数 $\phi: G \to H$，并且这个函数保持群的运算结构，即 $\phi(g_1 g_2) = \phi(g_1) \phi(g_2)$。
• 证明思路:

1. 因为 $A$ 和 $B$ 基数相同，所以存在一个双射函数 $f: A \to B$。这个 $f$ 就是一个“重命名”规则。例如，$f(1)=\#, f(2)=\$, f(3)=\%$。
2. 我们用这个 $f$ 来构造一个从 $S_A$到 $S_B$ 的映射 $\phi$。对于 $S_A$ 中的任意一个置换 $\sigma$，我们想找到它在 $S_B$ 中对应的置换 $\bar{\sigma}$。
3. 这个对应关系被定义为 $\bar{\sigma}(f(a)) = f(\sigma(a))$。
   • 解读这个公式:
   • 左边：$\bar{\sigma}$ 作用在 B 中的一个元素 $f(a)$ 上。
   • 右边：先让 $\sigma$ 作用在 A 中的元素 $a$ 上得到 $\sigma(a)$，然后把这个结果用 $f$ “重命名”成 B 中的元素。
   • 这个公式本质上说：$\bar{\sigma}$ 在“新名字”上的作用，等同于 $\sigma$ 在“旧名字”上作用后，再把结果换成“新名字”。
4. 可以证明这个映射 $\phi(\sigma) = \bar{\sigma}$ 是一个群同构。

• 书中例子:
• $A = \{1, 2, 3\}$, $B = \{\#, \$, \%\}$。
• 重命名函数: $f(1)=\#, f(2)=\$, f(3)=\%$。
• $S_A$ 中的一个置换: $\sigma = \left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{array}\right)$。
• 它对应的 $S_B$ 中的置换 $\bar{\sigma}$ 是什么？我们只需把 $\sigma$ 的双行表示中的每个数字都用 $f$ 翻译一下：
• 第一行 1 2 3 翻译成 f(1) f(2) f(3) 即 \# $ %。
• 第二行 3 2 1 翻译成 f(3) f(2) f(1) 即 % $ \#。
• 所以 $\bar{\sigma} = \left(\begin{array}{lll} \# & \$ & \% \\ \% & \$ & \# \end{array}\right)$。
• 这个过程直观地展示了“同构”就是“换个名字而已，结构完全不变”。

4. 原型集合

• 结论: 既然置换群的结构只和元素个数 $n$ 有关，我们没必要每次都用不同的集合。我们可以选一个标准的、有 $n$ 个元素的集合作为“原型”，比如 $\{1, 2, 3, \dots, n\}$。任何其他有 $n$ 个元素的集合上的置换群，都和这个原型群是同构的。

这是本节中最重要的一个定义，它为我们提供了一个标准的研究对象。

1. 背景: 根据上一小节的讨论，我们知道任何包含 $n$ 个元素的集合上的置换群，其结构都是一样的。因此，我们没必要每次都说“在集合 $A=\{a,b,c,...\}$ 上的置换群”，我们可以直接使用一个标准的集合。
2. 定义:
   • 标准集合: 这个标准的有限集被选为 $\{1, 2, \dots, n\}$。
   • 对称群 $S_n$: 在这个标准集合 $\{1, 2, \dots, n\}$ 上的所有置换所构成的群，就被称为“$n$ 个字母上的对称群”(the symmetric group on $n$ letters)，并用一个非常简洁的符号 $S_n$ 来表示。
   • 所以，当你看到 $S_3$，你就应该立刻想到这是在集合 $\{1, 2, 3\}$ 上的所有置换构成的群。看到 $S_5$，就是集合 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ 上的置换群。
3. $S_n$ 的阶 (Order):
   • 阶: 群的阶就是群中元素的数量，记作 $|S_n|$。
   • $S_n$ 的元素: $S_n$ 的元素是集合 $\{1, 2, \dots, n\}$ 的所有不同置换。
   • 计数: 一个 $n$ 元素的集合有多少种不同的置换（排列）呢？这是一个基本的组合数学问题。
   • 为 1 选择一个映射对象，有 $n$ 种可能。
   • 为 2 选择一个映射对象，由于不能和 1 的像重复（一对一），只剩下 $n-1$ 种可能。
   • 为 3 选择一个映射对象，剩下 $n-2$ 种可能。
   • ...
   • 为 $n$ 选择映射对象，只剩下最后 1 种可能。
   • 根据乘法原理，总的置换数量就是 $n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 2 \times 1$。
   • 这个数就是 $n$ 的阶乘，记作 $n!$。
   • 所以，群 $S_n$ 的阶是 $|S_n| = n!$。

这个例子深入剖析了第一个非平凡的非阿贝尔群 $S_3$，它非常重要，是群论中反复出现的经典模型。

1. 列出 $S_3$ 的所有元素

• 集合: $A = \{1, 2, 3\}$
• 元素总数: $3! = 6$
• 六个置换:
• $\rho_0 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$: 恒等置换，什么都不变。
• $\rho_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$: 这是一个循环置换，$1 \to 2 \to 3 \to 1$。
• $\rho_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$: 也是一个循环置换，$1 \to 3 \to 2 \to 1$。
• $\mu_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}$: 保持 1 不变，交换 2 和 3。
• $\mu_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$: 保持 2 不变，交换 1 和 3。
• $\mu_3 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$: 保持 3 不变，交换 1 和 2。
• 命名法: 这里的命名 $\rho_i$ 和 $\mu_i$ 不是随机的，它暗示了这些置换的几何意义。$\rho$ (rho) 通常代表旋转 (Rotation)，$\mu$ (mu) 通常代表镜像反射 (Mirror)。

2. $S_3$ 的乘法表 (表8.8)

• 这张表是 $S_3$ 群结构的完整体现。表格的行和列是群的元素，表格内部的每一项是对应行列元素的乘积（行元素在左，列元素在右）。例如，要查找 $\rho_1 \mu_1$ 的结果：

1. 在左侧找到 $\rho_1$ 这一行。
2. 在顶部找到 $\mu_1$ 这一列。
3. 行和列的交叉点是 $\mu_3$。所以 $\rho_1 \mu_1 = \mu_3$。
   • 验证一个计算: 让我们手动计算 $\rho_1 \mu_1$。
   • $\rho_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$, $\mu_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}$。
   • 计算 $\rho_1 \mu_1$ (先 $\mu_1$ 后 $\rho_1$)：
   • $1 \xrightarrow{\mu_1} 1 \xrightarrow{\rho_1} 2$
   • $2 \xrightarrow{\mu_1} 3 \xrightarrow{\rho_1} 1$
   • $3 \xrightarrow{\mu_1} 2 \xrightarrow{\rho_1} 3$
   • 结果是 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$，这正是 $\mu_3$。与查表结果一致。

3. $S_3$ 是非阿贝尔群

• 阿贝尔群 (交换群): 如果一个群中任意两个元素的乘法都满足交换律 ($ab=ba$)，则称之为阿贝尔群。
• 检验: 从乘法表中我们可以轻易找到反例。
• 我们已经算出 $\rho_1 \mu_1 = \mu_3$。
• 我们来查表计算 $\mu_1 \rho_1$：找到 $\mu_1$ 行和 $\rho_1$ 列的交叉点，是 $\mu_2$。
• 因为 $\rho_1 \mu_1 = \mu_3$ 而 $\mu_1 \rho_1 = \mu_2$，所以 $\rho_1 \mu_1 \neq \mu_1 \rho_1$。
• 结论: 既然存在至少一对元素不满足交换律，那么 $S_3$ 就不是一个阿贝尔群。
• 重要性: $S_3$ 是我们能遇到的阶最小的非阿贝尔群。
• 阶为 1, 2, 3, 5 的群都是循环群，因此必然是阿贝尔群。
• 阶为 4 的群只有两种（同构意义下）：$\mathbb{Z}_4$ 和克莱因四元群 $V$，它们也都是阿贝尔群。
• 所以，最小的可能出现非阿贝尔群的阶是 6。$S_3$ 就是这个例子。

4. 几何解释: 等边三角形的对称群 $D_3$

• 对称 (Symmetry): 一个几何图形的对称操作是指一种刚体运动（不改变形状和大小），使得图形运动后看起来和运动前一样（占据完全相同的空间）。
• 等边三角形的对称操作 (Fig 8.9): 想象一个顶点标有 1, 2, 3 的等边三角形。
• 旋转:
• 旋转0度: 什么都不做。这对应 $\rho_0$。
• 逆时针旋转120度: 顶点 1 跑到 2 的位置，2 跑到 3，3 跑到 1。这正是置换 $\rho_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$。
• 逆时针旋转240度: 顶点 1 跑到 3，2 跑到 1，3 跑到 2。这正是置换 $\rho_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$。
• 翻转 (镜像反射):
• 沿通过顶点1的角平分线翻转: 顶点 1 不变，顶点 2 和 3 交换位置。这正是置换 $\mu_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}$。
• 沿通过顶点2的角平分线翻转: 顶点 2 不变，顶点 1 和 3 交换位置。这正是置换 $\mu_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$。
• 沿通过顶点3的角平分线翻转: 顶点 3 不变，顶点 1 和 2 交换位置。这正是置换 $\mu_3 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$。
• 同构关系: $S_3 \simeq D_3$
• 我们发现，对三角形顶点的6种对称操作，与 $S_3$ 的6个置换一一对应。
• 更重要的是，这些操作的复合关系也和置换的乘法关系完全一样。例如，“先旋转120度($\rho_1$)，再沿顶点1的轴翻转($\mu_1$)”，你会发现其最终效果等同于“直接沿顶点3的轴翻转($\mu_3$)”。这在几何上验证了代数计算 $\mu_1 \rho_1 = \mu_3$ (注意这里的顺序，几何操作是先右后左)。不，书本的表格是行*列，即 $\rho_1 \mu_1 = \mu_3$，几何操作是先$\mu_1$再$\rho_1$。让我们验证一下：初始状态 (1,2,3)，先沿顶点1翻转 ($\mu_1$)，变成 (1,3,2)。再将这个状态旋转120度($\rho_1$)，1->2, 2->3, 3->1，所以(1,3,2)变成(2,1,3)。最终状态是(2,1,3)。这对应于 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} = \mu_3$。所以几何操作的复合 $\rho_1 \circ \mu_1$ 确实等于 $\mu_3$。
• 这种代数结构和几何结构的完美对应，就是群同构。因此，$S_3$ 和等边三角形的对称群 $D_3$ (第三个二面体群) 是同一个群的两种不同表现形式。

这个例子介绍了另一个非常重要的非阿贝尔群——二面体群 $D_4$，即正方形的对称群。

1. $D_4$ 的几何来源

• $D_4$ 来自于对一个正方形进行对称操作。想象一个顶点按逆时针顺序标为 1, 2, 3, 4 的正方形 (Fig 8.11)。
• 一个对称操作就是一种移动方式，移动后正方形的顶点会占据原来顶点的位置，使得正方形看起来没变。
• 这些操作的集合构成了群 $D_4$。总共有 8 种这样的操作，所以 $D_4$ 的阶是 8。

2. $D_4$ 的 8 个元素 (置换)

这些操作可以分为旋转和翻转两类。

• 旋转 (Rotations, $\rho_i$):
• $\rho_0$: 旋转0度 (不动)。$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$。
• $\rho_1$: 逆时针旋转90度。$1 \to 2, 2 \to 3, 3 \to 4, 4 \to 1$。$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}$。
• $\rho_2$: 逆时针旋转180度。$1 \to 3, 2 \to 4, 3 \to 1, 4 \to 2$。$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{pmatrix}$。
• $\rho_3$: 逆时针旋转270度。$1 \to 4, 2 \to 1, 3 \to 2, 4 \to 3$。$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$。

这 4 个旋转操作本身构成一个子群 $\{\rho_0, \rho_1, \rho_2, \rho_3\}$，它是一个循环群，与 $\mathbb{Z}_4$ 同构。

• 翻转/反射 (Reflections, $\mu_i, \delta_i$): 有 4 种翻转方式。
• 水平翻转: 沿穿过边 1-4 和 2-3 中点的轴线翻转。
• $1 \leftrightarrow 4, 2 \leftrightarrow 3$ (1和4互换，2和3互换)。这对应书中的 $\mu_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$。
• 垂直翻转: 沿穿过边 1-2 和 3-4 中点的轴线翻转。
• $1 \leftrightarrow 2, 3 \leftrightarrow 4$ (1和2互换，3和4互换)。这对应书中的 $\mu_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \end{pmatrix}$。
• 主对角线翻转: 沿连接顶点 2 和 4 的对角线翻转。
• 2 和 4 不变， $1 \leftrightarrow 3$。这对应书中的 $\delta_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 4 \end{pmatrix}$。（注意：书中的图示和命名可能需要仔细对应。根据置换结果，$\delta_1$ 保持2和4不动，交换1和3，这确实是沿2-4对角线翻转）。
• 副对角线翻转: 沿连接顶点 1 和 3 的对角线翻转。
• 1 和 3 不变， $2 \leftrightarrow 4$。这对应书中的 $\delta_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 3 & 2 \end{pmatrix}$。

3. $D_4$ 的乘法表 (表 8.12) 和非交换性

• 这个 $8 \times 8$ 的表格展示了 $D_4$ 完整的群结构。
• 非阿贝尔性: 我们可以轻易找到反例。例如，查表可知：
• $\rho_1 \mu_1 = \delta_1$ (旋转90度，然后垂直翻转)
• $\mu_1 \rho_1 = \delta_2$ (垂直翻转，然后旋转90度)
• 因为 $\delta_1 \neq \delta_2$，所以 $\rho_1 \mu_1 \neq \mu_1 \rho_1$。因此 $D_4$ 是一个非阿贝尔群。

4. $D_4$ 的子群图 (Fig 8.13)

• 子群图 (Subgroup Lattice): 这是一个用来可视化群的所有子群以及它们之间包含关系的图。
• 图中的每个节点代表一个子群。
• 下面的节点被上面的节点包含。例如，从 $\{\rho_0, \rho_2\}$有一条线连到 $\{\rho_0, \rho_1, \rho_2, \rho_3\}$，表示前者是后者的子群。
• 最顶端是整个群 $D_4$。
• 最底端是只包含单位元的平凡子群 $\{\rho_0\}$。
• 对称性: 作者让我们注意这个图本身的美丽对称性。这种对称性反映了 $D_4$ 内部深刻的结构性。例如，有多个阶为 2 的子群，它们在结构中的地位是相似的。有三个不同的阶为 4 的子群。
• 这个图是一个非常强大的工具，它将一个群的复杂内部结构一目了然地呈现出来。

5. "八元群" (Octac group)

• 这是 $D_4$ 的一个别名，因为它有 8 个元素。

这部分是对凯莱定理的介绍，解释了它的直观来源、内容、意义以及局限性。

1. 直观来源：群的乘法表

• 观察: 随便看一个群的乘法表，比如前面 $S_3$ 的表8.8。
• 看某一行: 以 $\rho_1$ 行为例：$(\rho_1, \rho_2, \rho_0, \mu_3, \mu_1, \mu_2)$。这个序列恰好是顶部标题栏 $(\rho_0, \rho_1, \rho_2, \mu_1, \mu_2, \mu_3)$ 的一个重新排列（置换）。每一行都是如此。为什么？因为如果某一行有两个相同的元素，比如 $g \cdot a = g \cdot b$，根据消去律，必然有 $a=b$，但这与标题栏元素各不相同矛盾。
• 看某一列: 同理，每一列也是对左侧标题栏元素的一个置换。
• 启发: 这个观察暗示，群自身的运算（左乘或右乘一个元素）就天然地“导致”了对群自身元素集合的置换。这为“任何群都和某个置换群有关系”提供了强烈的直观线索。

2. 凯莱定理的内容

• 核心论断: “每个群都与一个置换群同构”。
• 更精确的表述: 对于任何一个群 $G$（无论有限还是无限），它都同构于 $S_G$ 的一个子群。
• $S_G$ 是在 $G$ 这个集合上的所有置换构成的群。如果 $G$ 有 $n$ 个元素，$S_G$ 就和 $S_n$ 同构，是一个包含 $n!$ 个元素的庞然大物。
• 凯莱定理并不是说 $G$ 和 $S_G$ 同构（这通常是不对的，比如 $S_3$ 阶是6，但 $S_{S_3}$ 的阶是 $6! = 720$），而是说 $G$ 和 $S_G$ 里面的“某一个子群”同构。

3. 凯莱定理的意义和评价

• “漂亮而有趣”: 它揭示了一个深刻的、意想不到的统一性。无论一个群看起来多么奇特（比如由复数、矩阵、函数或者其他任何东西构成），它的内在结构总能被一个由“重新排列”这种简单动作构成的群所完美复制。
• “置换群的普遍性”: 凯莱定理说明置换群不是一种特殊的群，而是群的“通用模型”。研究置换群就是在研究所有群的结构。
• “听起来强大，但用处不大”:
• 为什么听起来强大: 似乎我们可以通过只研究置换群来解决所有关于群的问题。想证明一个关于所有群的定理？只需要证明它对所有置换群成立就行了。
• 为什么实际用处不大: 凯莱定理提供的这个置换群通常太大了！例如，一个8阶的群 $D_4$ 被嵌入到了一个 $8! = 40320$ 阶的群 $S_8$ 的一个8阶子群中。用一个包含四万多个元素的群来研究一个只有8个元素的群，这好比“用牛刀杀鸡”，得不偿失。原来的群 $D_4$ 可能有很好的性质（比如几何意义），但在嵌入到 $S_8$ 之后，这些直观性质都丢失了。
• 理论价值: 它的主要价值在于理论层面。它保证了如果我们想为某个关于群的猜想找一个反例，那么我们一定能在某个置换群中找到这个反例。它为群论的研究提供了一个坚实的“基础模型”。

这篇历史注解介绍了凯莱定理的命名者——阿瑟·凯莱 (Arthur Cayley)，以及他在抽象群论发展早期的贡献和思想。

1. 凯莱的早期工作 (1854)

• 抽象群定义: 凯莱在1854年首次给出了群的抽象定义。他的定义强调了集合和封闭性：“一堆符号，两两相乘，结果还在这一堆符号里”。这在当时是非常先进的思想，因为它试图摆脱群元素的具体形态（是数字还是置换）。
• 群表 (Cayley Table): 他发明了我们今天仍在使用的群乘法表（有时就称为凯莱表），并指出了其“数独”特性——每行每列都包含所有元素。
• 认知的局限: 尽管他的定义是抽象的，但他脑海里想的群的例子似乎总是某种“运算”或“变换”。他还没有完全将群视为一个纯粹的公理化系统。
• 被忽视: 这篇开创性的论文在当时没有引起关注，被埋没了25年。这部分也提到了凯莱的个人经历，他曾因找不到教职而去当了14年律师，期间依然高产地进行数学研究。

2. 凯莱的回归与凯莱定理 (1878)

• 回归群论: 成为剑桥教授后，凯莱在1878年重新发表了一系列关于群论的论文。
• 阐述凯莱定理: 其中一篇论文提出了凯莱定理的核心思想。他的“证明”非常直观，就是我们引言里提到的那个观察：在群表中，用一个元素去乘一整行（或一列），结果就是对这些元素的一个置换。
• 凯莱的洞见 (对定理的评价): 非常有意思的是，凯莱本人对这个以他名字命名的定理的实用价值持保留态度。他明确指出，把所有群都看作置换群来研究，不一定是最好的方法。他认为应该“独立考虑一般问题本身”，也就是说，直接在抽象的层面研究群的性质，而不是总把它们翻译成置换。这与我们之前对凯莱定理局限性的分析不谋而合。

3. 影响

• 推动抽象群论: 凯莱1878年的这些论文，与1854年的不同，获得了学界的广泛关注。
• 影响范·迪克: 它们直接启发了范·迪克 (Walter Van Dyck) 在1882年给出更现代、更形式化的群的公理化定义。
• 里程碑: 这标志着群论从研究具体对象（如置换群、矩阵群）的阶段，正式进入了研究满足特定公理的抽象结构的“现代抽象群论”阶段。

这个引理（Lemma）是证明凯莱定理所需的一个关键步骤。它本身也是一个非常重要和常用的结果。

1. 预备定义：像 (Image)

• 定义8.14: 给定一个函数 $f: A \to B$ 和一个定义域的子集 $H \subseteq A$，那么 $H$ 的像 $f[H]$ 就是 $H$ 中所有元素经过 $f$ 映射后得到的结果所组成的集合。
• 例子: 设 $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ 定义为 $f(x)=x^2$。设 $H = \{1, 2, 3\}$，则 $f[H] = \{f(1), f(2), f(3)\} = \{1, 4, 9\}$。设 $E$ 为所有偶数，则 $f[E]$ 是所有偶数的平方构成的集合 $\{0, 4, 16, 36, \dots\}$。
• 在引理中，我们关心的是整个定义域 $G$ 的像 $\phi[G]$。

2. 引理 8.15 的内容

• 条件:

1. 有两个群 $G$ 和 $G'$。
2. 有一个函数 $\phi: G \to G'$。
3. 这个函数 $\phi$ 满足两个关键性质：
   • 一对一 (injective): 不同的输入有不同的输出。
   • 保持运算 (homomorphism property): $\phi(xy) = \phi(x)\phi(y)$。先把 $x,y$ 在 $G$ 中乘起来再映射，和先把 $x,y$ 分别映射到 $G'$ 中再乘起来，结果是一样的。满足这个性质的映射称为“同态”。
   • 结论:
4. 像是一个子群: $G$ 在 $\phi$ 下的像 $\phi[G]$，是目标群 $G'$ 的一个子群。
5. 源与像同构: 原始群 $G$ 与它的像 $\phi[G]$ 是同构的。

3. 证明过程

证明分为两部分：

第一部分：证明 $\phi[G]$ 是 $G'$ 的子群

我们需要验证子群的三个条件：封闭性、含单位元、含逆元。

• 证明封闭性:
• 任取两个元素 $x', y'$ 从 $\phi[G]$ 中。
• 根据像的定义，存在 $G$ 中的元素 $x, y$ 使得 $\phi(x)=x', \phi(y)=y'$。
• 我们要证明它们的乘积 $x'y'$ 也属于 $\phi[G]$。
• $x'y' = \phi(x)\phi(y)$。因为 $\phi$ 保持运算，所以 $\phi(x)\phi(y) = \phi(xy)$。
• 因为 $G$ 是一个群，所以 $xy$ 必然也在 $G$ 中。
• 因此，$x'y' = \phi(xy)$，这意味着 $x'y'$ 是 $G$ 中某个元素($xy$)的像。根据定义， $x'y'$ 属于 $\phi[G]$。
• 封闭性得证。

• 证明包含单位元:
• 设 $e$ 是 $G$ 的单位元，$e'$ 是 $G'$ 的单位元。我们要证明 $e' \in \phi[G]$。
• 考虑 $e$ 的像 $\phi(e)$。因为 $\phi$ 保持运算，所以 $\phi(ee) = \phi(e)\phi(e)$。
• 因为 $ee=e$，所以 $\phi(e) = \phi(e)\phi(e)$。
• 在群 $G'$ 中，对于等式 $\phi(e) = \phi(e)\phi(e)$，两边同时左乘 $\phi(e)$ 的逆元（或者说，根据消去律），我们得到 $e' = \phi(e)$。
• 这说明 $G'$ 的单位元 $e'$ 正是 $G$ 的单位元 $e$ 的像。因此 $e' \in \phi[G]$。
• 单位元条件得证。

• 证明包含逆元:
• 任取一个元素 $x'$ 从 $\phi[G]$ 中。存在 $x \in G$ 使得 $\phi(x)=x'$。
• 我们要证明 $x'$ 在 $G'$ 中的逆元 $(x')^{-1}$ 也属于 $\phi[G]$。
• 我们知道 $e' = \phi(e)$。
• $e' = \phi(xx^{-1})$。因为 $\phi$ 保持运算，所以 $\phi(xx^{-1}) = \phi(x)\phi(x^{-1})$。
• 所以我们有 $e' = \phi(x)\phi(x^{-1})$。
• 把 $\phi(x)$ 替换为 $x'$，得到 $e' = x'\phi(x^{-1})$。
• 在群 $G'$ 中，这个等式正好是逆元的定义：它说明 $\phi(x^{-1})$ 就是 $x'$ 的逆元。即 $(x')^{-1} = \phi(x^{-1})$。
• 因为 $x^{-1}$ 属于 $G$，所以它的像 $\phi(x^{-1})$ 必然属于 $\phi[G]$。
• 逆元条件得证。

第二部分：证明 $G$ 与 $\phi[G]$ 同构

• 我们需要一个从 $G$ 到 $\phi[G]$ 的双射，并且保持运算。
• $\phi$ 本身就是一个从 $G$ 到 $\phi[G]$ 的映射。
• 保持运算: $\phi(xy) = \phi(x)\phi(y)$，这是引理的已知条件。
• 一对一: $\phi$ 是一对一的，这也是已知条件。
• 满射: $\phi$ 作为到 $\phi[G]$ 的映射是满射的吗？是的，根据像 $\phi[G]$ 的定义，它里面的每一个元素都必须是 $G$ 中某个元素的像。所以 $\phi$ 把 $G$ 满射到 $\phi[G]$ 上。
• 既然 $\phi$ 是一个从 $G$ 到 $\phi[G]$ 的保持运算的双射（一对一且满射），那么根据同构的定义，$G$ 与 $\phi[G]$ 同构。

这是本节的最终目标——凯莱定理的证明。证明的思路是构造一个特殊的映射，然后应用引理8.15。

证明策略

我们的目标是证明任意群 $G$ 都与 $S_G$ 的一个子群同构。根据引理8.15，我们只需要完成两件事：

1. 构造一个映射 $\phi: G \to S_G$。
2. 证明这个映射 $\phi$ 是一个一对一的同态（即一对一且保结构）。

步骤一：为 $G$ 中每个元素 $x$ 关联一个置换 $\lambda_x$

• 这是整个证明最巧妙的地方。如何把一个抽象的群元素 $x$ 变成一个作用在 $G$ 集合上的置换呢？
• 想法: 利用 $G$ 自身的群运算。让 $x$ 去“左乘” $G$ 中的每一个元素。
• 定义: 对于每个 $x \in G$，我们定义一个函数 $\lambda_x: G \to G$，其功能是 $\lambda_x(g) = xg$。（$\lambda$ 是 Lambda，代表 Left 左乘）。
• 证明 $\lambda_x$ 是一个置换:
• $\lambda_x$ 是满射的吗? 对于 $G$ 中任意一个元素 $c$，我们能找到一个输入，使得 $\lambda_x$ 的输出是 $c$ 吗？是的，输入就是 $x^{-1}c$。因为 $\lambda_x(x^{-1}c) = x(x^{-1}c) = (xx^{-1})c = ec = c$。所以 $\lambda_x$ 是满射的。
• $\lambda_x$ 是一对一的吗? 如果 $\lambda_x(a) = \lambda_x(b)$，那么 $xa = xb$。根据群的左消去律，可以消掉 $x$，得到 $a=b$。所以 $\lambda_x$ 是一对一的。
• 结论: 因为 $\lambda_x$ 既一对一又满射，所以它是一个 $G$ 上的置换。它属于 $S_G$。
• 至此，我们成功地为 $G$ 中的每一个元素 $x$，都制造出了一个在 $S_G$ 中对应的置换 $\lambda_x$。

步骤二：定义 $\phi$ 并证明它是 一对一 的同态

• 定义映射 $\phi$: 现在我们可以正式定义映射 $\phi: G \to S_G$ 为 $\phi(x) = \lambda_x$。这个映射把 $G$ 中的元素 $x$ 送到 $S_G$ 中对应的置换 $\lambda_x$。

• 证明 $\phi$ 是一对一的:
• 我们需要证明：如果 $\phi(x) = \phi(y)$，那么 $x=y$。
• 假设 $\phi(x) = \phi(y)$，这意味着 $\lambda_x = \lambda_y$。
• 既然 $\lambda_x$ 和 $\lambda_y$ 是两个完全相同的函数，那么它们作用在任何元素上的结果都应该一样。我们特别地让它们作用在单位元 $e$ 上。
• $\lambda_x(e) = \lambda_y(e)$。
• 根据 $\lambda$ 的定义，这意味着 $xe = ye$。
• 因为 $e$ 是单位元，所以 $x=y$。
• 结论: $\phi$ 是一对一的。

• 证明 $\phi$ 是同态 (保结构):
• 我们需要证明：$\phi(xy) = \phi(x)\phi(y)$。
• 左边: 根据 $\phi$ 的定义，$\phi(xy) = \lambda_{xy}$。
• 右边: 根据 $\phi$ 的定义，$\phi(x)\phi(y) = \lambda_x \lambda_y$。这里的乘积是置换乘法，即函数复合。
• 所以，我们需要证明 $\lambda_{xy} = \lambda_x \lambda_y$ 这两个函数是相等的。
• 要证明两个函数相等，就要证明它们作用在任意元素 $g \in G$ 上的结果都相等。
• 函数 $\lambda_{xy}$ 的作用: $\lambda_{xy}(g) = (xy)g$。（根据 $\lambda$ 的定义）
• 函数 $\lambda_x \lambda_y$ 的作用: $(\lambda_x \lambda_y)(g) = \lambda_x(\lambda_y(g))$。（根据函数复合的定义）
• 先算里面的：$\lambda_y(g) = yg$。
• 再算外面的：$\lambda_x(yg) = x(yg)$。
• 所以，$(\lambda_x \lambda_y)(g) = x(yg)$。
• 比较: 我们需要比较 $(xy)g$ 和 $x(yg)$。根据群的结合律公理，它们是相等的！
• 结论: 因为对于任意 $g \in G$，都有 $\lambda_{xy}(g) = (\lambda_x \lambda_y)(g)$，所以 $\lambda_{xy} = \lambda_x \lambda_y$。因此 $\phi(xy) = \phi(x)\phi(y)$ 成立。$\phi$ 是一个同态。

步骤三：应用引理，完成证明

• 我们已经成功构造了一个映射 $\phi: G \to S_G$，并且证明了它是一个一对一的同态。
• 现在，我们可以直接引用引理8.15的结论：

1. $G$ 的像 $\phi[G]$ 是 $S_G$ 的一个子群。这个 $\phi[G]$ 就是由所有 $\lambda_x$ 构成的集合 $\{\lambda_x \mid x \in G\}$。
2. $G$ 与它的像 $\phi[G]$ 同构。
   • 这就完成了证明：我们找到了 $S_G$ 的一个子群（即 $\phi[G]$），它与我们开始时任意给定的群 $G$ 同构。因此，任何群都与一个置换群（这里指 $\phi[G]$）同构。

这部分介绍了凯莱定理证明的另一种（非常相似的）途径，并给出了两种表示的正式名称。

1. 右乘构造法

• 类比左乘: 证明凯莱定理时，我们用了左乘操作来定义置换 $\lambda_x(g) = xg$。
• 右乘操作: 我们同样可以考虑用右乘来定义一个函数。设 $\rho_x: G \to G$ 定义为 $\rho_x(g) = gx$。($\rho$ 是 Rho，代表 Right 右乘)。
• $\rho_x$ 也是一个置换: 类似于对 $\lambda_x$ 的证明，可以证明 $\rho_x$ 也是一个一对一、满射的函数，因此它也是 $G$ 的一个置换，属于 $S_G$。
• 构造映射: 我们可以尝试定义一个新的映射 $\phi_{right}: G \to S_G$ 为 $\phi_{right}(x) = \rho_x$。
• 问题出现: 这个映射是一对一的，但它不保结构（不是同态）！
• 让我们来检验一下 $\phi_{right}(xy) = \phi_{right}(x)\phi_{right}(y)$ 是否成立。
• 左边: $\phi_{right}(xy) = \rho_{xy}$。其作用是 $\rho_{xy}(g) = g(xy)$。
• 右边: $\phi_{right}(x)\phi_{right}(y) = \rho_x \rho_y$ (函数复合)。其作用是 $(\rho_x \rho_y)(g) = \rho_x(\rho_y(g)) = \rho_x(gy) = (gy)x$。
• 我们需要比较 $g(xy)$ 和 $(gy)x$。根据结合律，它们是相等的。
• 糟糕，哪里出错了？ 让我们再仔细看看。$\phi_{right}(x)\phi_{right}(y)$ 是 $\rho_x \rho_y$。而我们需要的是 $\rho_{xy}$。我们计算出的结果是 $\rho_y \rho_x$！看：$(\rho_y \rho_x)(g) = \rho_y(\rho_x(g)) = \rho_y(gx) = (gx)y$。这和 $g(xy)$ 不相等。
• 实际上，我们证明了 $\rho_{xy} = \rho_y \rho_x$。这意味着映射 $\phi_{right}(x) = \rho_x$ 是一个“反同态”($\phi_{right}(xy) = \phi_{right}(y)\phi_{right}(x)$)，而不是同态。

2. 修正右乘法：引入逆元

• 如何修正: 为了把“反同态”变回“同态”，有一个标准的技巧：在映射里多加一个逆元。
• 定义新的映射 $\mu$: 我们定义 $\mu: G \to S_G$ 为 $\mu(x) = \rho_{x^{-1}}$。
• 检验 $\mu$ 是否为同态: 我们需要证明 $\mu(xy) = \mu(x)\mu(y)$。
• 左边: $\mu(xy) = \rho_{(xy)^{-1}}$。根据群的性质 $(xy)^{-1} = y^{-1}x^{-1}$，所以左边是 $\rho_{y^{-1}x^{-1}}$。
• 右边: $\mu(x)\mu(y) = \rho_{x^{-1}}\rho_{y^{-1}}$ (函数复合)。
• 我们在上面已经证明了右乘满足反同态关系 $\rho_{ab} = \rho_b \rho_a$。
• 把这个关系应用到右边: $\rho_{x^{-1}}\rho_{y^{-1}} = \rho_{y^{-1}x^{-1}}$。
• 比较: 左边 $\rho_{y^{-1}x^{-1}}$ 和右边 $\rho_{y^{-1}x^{-1}}$ 相等！
• 结论: $\mu(x) = \rho_{x^{-1}}$ 确实是一个同态。可以证明它也是一对一的。因此，我们也可以用这个映射 $\mu$ 来证明凯莱定理。

3. 定义：正则表示

• 定义 8.17:
• 左正则表示 (Left Regular Representation): 就是凯莱定理证明中使用的那个映射 $\phi: G \to S_G$，定义为 $\phi(x) = \lambda_x$，其中 $\lambda_x(g)=xg$。
• 右正则表示 (Right Regular Representation): 就是修正后的右乘映射 $\mu: G \to S_G$，定义为 $\mu(x) = \rho_{x^{-1}}$，其中 $\rho_{x^{-1}}(g) = gx^{-1}$。

这个例子将凯莱定理的证明过程具体化，为一个给定的抽象群（由乘法表定义）计算其左正则表示。

1. 原始群

• 群 G: 由表8.19定义的群 $G=\{e, a, b\}$。
• 运算:
• $a \cdot a = b$
• $a \cdot b = e$
• $b \cdot a = e$
• $b \cdot b = a$
• $e$ 是单位元。
• 这个群实际上就是循环群 $\mathbb{Z}_3$，其中 $e \leftrightarrow 0, a \leftrightarrow 1, b \leftrightarrow 2$，运算是模3加法。例如 $a \cdot a = b \leftrightarrow 1+1=2$。

2. 计算左正则表示

• 目标: 找到映射 $\phi(x) = \lambda_x$ 所产生的三个置换 $\lambda_e, \lambda_a, \lambda_b$。这些置换作用的集合是 $G$ 本身，即 $\{e, a, b\}$。
• 计算 $\lambda_e$:
• $\lambda_e$ 的作用是左乘 $e$。
• $\lambda_e(e) = ee = e$
• $\lambda_e(a) = ea = a$
• $\lambda_e(b) = eb = b$
• 所以，$\lambda_e$ 是恒等置换，$\lambda_e = \left(\begin{array}{lll} e & a & b \\ e & a & b \end{array}\right)$。

• 计算 $\lambda_a$:
• $\lambda_a$ 的作用是左乘 $a$。
• $\lambda_a(e) = ae = a$
• $\lambda_a(a) = aa = b$ (查表8.19)
• $\lambda_a(b) = ab = e$ (查表8.19)
• 所以，$\lambda_a = \left(\begin{array}{lll} e & a & b \\ a & b & e \end{array}\right)$。

• 计算 $\lambda_b$:
• $\lambda_b$ 的作用是左乘 $b$。
• $\lambda_b(e) = be = b$
• $\lambda_b(a) = ba = e$ (查表8.19)
• $\lambda_b(b) = bb = a$ (查表8.19)
• 所以，$\lambda_b = \left(\begin{array}{lll} e & a & b \\ b & e & a \end{array}\right)$。

3. 表示的群表 (表8.20)

• 同构的体现: 凯莱定理说原始群 $G$ 与其左正则表示（即由 $\lambda_e, \lambda_a, \lambda_b$ 构成的置换群）是同构的。
• 同构意味着它们的乘法表在结构上完全一样。表8.20 就是把表8.19中的每个元素 $x$ 直接替换成对应的 $\lambda_x$ 得到的。
• 验证一个乘积: 例子中验证了 $\lambda_a \lambda_b = \lambda_e$。
• 代数方式: 在原始群 $G$ 中，我们有 $ab=e$。因为 $\phi$ 是同构，所以 $\phi(ab) = \phi(a)\phi(b)$，即 $\phi(e) = \phi(a)\phi(b)$。这翻译成 $\lambda$ 就是 $\lambda_e = \lambda_a \lambda_b$。
• 置换计算方式:
• $\lambda_a \lambda_b = \left(\begin{array}{lll} e & a & b \\ a & b & e \end{array}\right)\left(\begin{array}{lll} e & a & b \\ b & e & a \end{array}\right)$ (先右后左)
• $e \xrightarrow{\lambda_b} b \xrightarrow{\lambda_a} e$
• $a \xrightarrow{\lambda_b} e \xrightarrow{\lambda_a} a$
• $b \xrightarrow{\lambda_b} a \xrightarrow{\lambda_a} b$
• 结果是 $\left(\begin{array}{lll} e & a & b \\ e & a & b \end{array}\right)$，这正是 $\lambda_e$。
• 两种方式结果一致，验证了同构关系。

4. 从群表快速得到表示

• 这是一个非常实用的技巧。
• 左正则表示 $\lambda_a$: 要找到 $\lambda_a$，直接去看原始群表（表8.19）中，元素 $a$ 所在的那一行。这一行是 $(a, b, e)$。这就是 $\lambda_a$ 的第二行（当第一行是 $(e, a, b)$ 时）。
• 右正则表示 $\rho_a$: 要找到右乘置换 $\rho_a(g)=ga$，直接去看原始群表中，元素 $a$ 所在的那一列。这一列是 $(a, e, b)$ (从上到下)。这就是 $\rho_a$ 的第二行（当第一行是 $(e, a, b)$ 时）。

这部分是第8节的课后练习，旨在巩固本节学习的概念和计算技能。练习分为几个类别：

1. 计算 (Computation)

• 练习1-9: 这些是基础的计算题，要求学生熟练掌握双行表示法下的置换乘法、求逆和求幂。例如，计算 $\tau \sigma$ 考验的是对“从右到左”复合规则的掌握；计算 $\sigma^{100}$ 考验的是对置换的阶（一个置换自乘多少次回到单位元）的理解，通过求余数来简化计算。计算 $|\langle\sigma\rangle|$ 是要求找出由 $\sigma$ 生成的循环子群的阶。
• 练习10: 这是一个分类题，要求学生判断给出的众多群中，哪些是同构的。这需要对各种常见群（如 $\mathbb{Z}, \mathbb{Z}_n, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$ 的加法或乘法群，$S_n$ 等）的基本性质有深入了解，例如它们的阶、是否循环、是否阿贝尔、元素的阶等。这是对群同构概念的综合考察。
• 练习11-13: 引入了轨道 (orbit) 的概念。一个元素在置换 $\sigma$ 下的轨道是指这个元素在 $\sigma$ 的反复作用下能变成的所有元素的集合。这是一个非常重要的概念，将在第9节详细展开。
• 练习14-15: 要求学生将 $S_3$ 和 $D_4$ 中的元素用另一种常见的表示法（基于生成元和关系）来标记。例如，用一个旋转 $\rho$ 和一个翻转 $\phi$ 来表示所有的元素。这有助于理解群的生成元思想。
• 练习16-27: 这些题目涉及更具体的计算，如计算满足特定条件的置换数量、找出一个群的所有子群并画出子群图、构造循环子群的乘法表、将置换群与矩阵群建立同构关系、判断几何图形的对称群等。其中，计算正则表示的练习是凯莱定理的直接应用。

2. 概念 (Concepts)

• 练习28-29: 这是“改正定义”题，要求学生不看书，凭自己的理解写出关键术语的精确定义。这是检验概念是否真正内化的好方法。
• 练习30-34: 要求判断给定的几个实数函数是否是 $\mathbb{R}$ 上的置换。这回到了置换最根本的定义——双射函数，并考察了学生对无限集上一对一和满射的理解。
• 练习35: 是非题，覆盖了本节的多个核心概念点，如置换与函数的关系、群与子群的性质、对称群是否循环等。
• 练习36-38: 这些是需要举例或给出解释的概念题。例如，练习36要求举一个非阿贝尔群，其所有真子群都是阿贝尔群（$S_3$ 就是一个很好的例子）。练习38要求画出二面体群 $D_n$ 的凯莱图，这是另一种可视化群结构的重要工具。

3. 证明梗概 (Proof Gists)

• 练习39: 要求用两三句话概括凯莱定理的证明。这考察了学生对证明核心思想的把握能力，而不是拘泥于细节。

4. 理论 (Theory)

• 练习40-53: 这些是理论证明题，要求学生进行更抽象的推理。
• 练习40-43: 探讨了哪些特定条件的置换集合能构成 $S_A$ 的子群。这需要学生应用子群检验法。
• 练习44-47: 深入探讨了二面体群 $D_n$ 和对称群 $S_n$ 的性质，如 $D_n$ 的阶、证明 $S_n$ 对于 $n \ge 3$ 是非阿贝尔的，以及 $S_n$ 的中心（能与所有元素交换的元素集合）是平凡的。
• 练习48-50: 进一步探讨轨道的性质，如轨道要么不相交要么完全相同，以及传递性的概念。
• 练习51: 呼应了文中的“警告”，要求证明如果把群的运算顺序反过来定义，得到的仍然是一个群（这个新群称为原群的反群或对偶群）。
• 练习52: 要求学生完成右正则表示的证明。
• 练习53: 要求证明任何有限群都与一个置换矩阵群同构，这是凯莱定理的线性代数版本。

为了帮助您更深入地理解本节所学的概念，并掌握相关的计算和证明技巧，此处我们选取“练习 8”中的部分典型题目进行详细的分析和解答。这些题目覆盖了计算、概念和理论三个方面。

这道题要求我们计算两个给定置换 $\tau$ 和 $\sigma$ 的乘积。在本书的约定中，置换乘积 $\tau\sigma$ 代表函数复合 $\tau \circ \sigma$，其运算顺序是“先应用 $\sigma$，后应用 $\tau$”。我们将逐个追踪集合 $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ 中每个元素的最终去向。

1. 追踪元素 1:
   • 首先，$\sigma$ 将 1 映射到 3。($1 \xrightarrow{\sigma} 3$)
   • 然后，$\tau$ 将这个结果 3 映射到 1。($3 \xrightarrow{\tau} 1$)
   • 所以，整个过程是 $1 \xrightarrow{\sigma} 3 \xrightarrow{\tau} 1$。最终，$(\tau\sigma)(1) = 1$。
2. 追踪元素 2:
   • 首先，$\sigma$ 将 2 映射到 1。($2 \xrightarrow{\sigma} 1$)
   • 然后，$\tau$ 将这个结果 1 映射到 2。($1 \xrightarrow{\tau} 2$)
   • 所以，整个过程是 $2 \xrightarrow{\sigma} 1 \xrightarrow{\tau} 2$。最终，$(\tau\sigma)(2) = 2$。
3. 追踪元素 3:
   • 首先，$\sigma$ 将 3 映射到 4。($3 \xrightarrow{\sigma} 4$)
   • 然后，$\tau$ 将这个结果 4 映射到 3。($4 \xrightarrow{\tau} 3$)
   • 所以，整个过程是 $3 \xrightarrow{\sigma} 4 \xrightarrow{\tau} 3$。最终，$(\tau\sigma)(3) = 3$。
4. 追踪元素 4:
   • 首先，$\sigma$ 将 4 映射到 5。($4 \xrightarrow{\sigma} 5$)
   • 然后，$\tau$ 将这个结果 5 映射到 6。($5 \xrightarrow{\tau} 6$)
   • 所以，整个过程是 $4 \xrightarrow{\sigma} 5 \xrightarrow{\tau} 6$。最终，$(\tau\sigma)(4) = 6$。
5. 追踪元素 5:
   • 首先，$\sigma$ 将 5 映射到 6。($5 \xrightarrow{\sigma} 6$)
   • 然后，$\tau$ 将这个结果 6 映射到 5。($6 \xrightarrow{\tau} 5$)
   • 所以，整个过程是 $5 \xrightarrow{\sigma} 6 \xrightarrow{\tau} 5$。最终，$(\tau\sigma)(5) = 5$。
6. 追踪元素 6:
   • 首先，$\sigma$ 将 6 映射到 2。($6 \xrightarrow{\sigma} 2$)
   • 然后，$\tau$ 将这个结果 2 映射到 4。($2 \xrightarrow{\tau} 4$)
   • 所以，整个过程是 $6 \xrightarrow{\sigma} 2 \xrightarrow{\tau} 4$。最终，$(\tau\sigma)(6) = 4$。

这道题要求计算共轭 (conjugate)。计算 $\sigma^{-1}\tau\sigma$ 是群论中一个非常重要的操作。它直观上可以理解为“用 $\sigma$ 的方式去执行 $\tau$ 操作”。计算分为三步：

1. 计算 $\tau\sigma$ (这一步在练习1中已经完成)。
2. 计算 $\sigma^{-1}$ (求 $\sigma$ 的逆置换)。
3. 计算最终乘积 $\sigma^{-1} (\tau\sigma)$。

第一步：$\tau\sigma$ 的结果

从练习1我们已知：

$\tau\sigma = \left(\begin{array}{cccccc}

1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\

1 & 2 & 3 & 6 & 5 & 4

\end{array}\right)$

第二步：计算 $\sigma^{-1}$

$\sigma = \left(\begin{array}{cccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & 4 & 5 & 6 & 2\end{array}\right)$

求逆置换的方法是将双行表示法的上下两行交换，然后将第一行重新排序列为自然顺序。

交换得到：$\left(\begin{array}{cccccc}3 & 1 & 4 & 5 & 6 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \end{array}\right)$

重新排序第一行：$\sigma^{-1} = \left(\begin{array}{cccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 6 & 1 & 3 & 4 & 5 \end{array}\right)$

第三步：计算 $\sigma^{-1} (\tau\sigma)$

现在我们计算最终的乘积 (先应用 $\tau\sigma$，再应用 $\sigma^{-1}$)：

$\sigma^{-1}(\tau\sigma) = \left(\begin{array}{cccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 6 & 1 & 3 & 4 & 5 \end{array}\right) \left(\begin{array}{cccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 & 6 & 5 & 4 \end{array}\right)$

• $1 \xrightarrow{\tau\sigma} 1 \xrightarrow{\sigma^{-1}} 2$
• $2 \xrightarrow{\tau\sigma} 2 \xrightarrow{\sigma^{-1}} 6$
• $3 \xrightarrow{\tau\sigma} 3 \xrightarrow{\sigma^{-1}} 1$
• $4 \xrightarrow{\tau\sigma} 6 \xrightarrow{\sigma^{-1}} 5$
• $5 \xrightarrow{\tau\sigma} 5 \xrightarrow{\sigma^{-1}} 4$
• $6 \xrightarrow{\tau\sigma} 4 \xrightarrow{\sigma^{-1}} 3$

这道题要求计算一个置换的高次幂。直接乘以100次是不现实的。正确的方法是利用置换的阶。

一个置换 $\sigma$ 的阶是使得 $\sigma^k = \iota$ (单位置换) 成立的最小正整数 $k$。

一旦找到了阶 $k$，我们可以用 100 除以 $k$ 求余数 $r$。即 $100 = qk + r$。

那么 $\sigma^{100} = \sigma^{qk+r} = (\sigma^k)^q \sigma^r = \iota^q \sigma^r = \iota \sigma^r = \sigma^r$。

问题就简化为计算一个次数远小于100的幂。

第一步：找到 $\sigma$ 的阶

我们来计算 $\sigma$ 的连续幂次，直到出现单位元为止。

$\sigma = \left(\begin{array}{cccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & 4 & 5 & 6 & 2\end{array}\right)$

$\sigma^2 = \sigma\sigma = \left(\begin{array}{cccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 3 & 5 & 6 & 2 & 1\end{array}\right)$

(例如: $1 \xrightarrow{\sigma} 3 \xrightarrow{\sigma} 4$)

$\sigma^3 = \sigma^2\sigma = \left(\begin{array}{cccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 4 & 6 & 2 & 1 & 3\end{array}\right)$

(例如: $1 \xrightarrow{\sigma} 3 \xrightarrow{\sigma^2} 5$)

$\sigma^4 = \sigma^3\sigma = \left(\begin{array}{cccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 5 & 2 & 1 & 3 & 4\end{array}\right)$

(例如: $1 \xrightarrow{\sigma} 3 \xrightarrow{\sigma^3} 6$)

$\sigma^5 = \sigma^4\sigma = \left(\begin{array}{cccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 6 & 1 & 3 & 4 & 5\end{array}\right)$

(例如: $1 \xrightarrow{\sigma} 3 \xrightarrow{\sigma^4} 2$)

$\sigma^6 = \sigma^5\sigma = \left(\begin{array}{cccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\end{array}\right) = \iota$

(例如: $1 \xrightarrow{\sigma} 3 \xrightarrow{\sigma^5} 1$)

我们发现 $\sigma$ 的阶是 6。

(一个更快捷的方法是分解成不相交循环：$\sigma = (1 \ 3 \ 4 \ 5 \ 6 \ 2)$。这是一个长度为6的循环，其阶就是6。)

第二步：计算指数的余数

$100 \div 6 = 16$ 余 $4$。

所以 $100 = 16 \times 6 + 4$。

第三步：得到最终结果

$\sigma^{100} = \sigma^{16 \times 6 + 4} = \sigma^4$。

我们已经在第一步中计算过 $\sigma^4$。

根据定义8.3，一个集合上的置换是一个到自身既一对一又满射的函数。这里我们的集合是实数集 $\mathbb{R}$，这是一个无限集。对于无限集，一对一和满射是两个独立的条件，必须分别检验。

1. 检验一对一 (injective)
   • 方法: 假设 $f_1(x_1) = f_1(x_2)$，如果能从中推出 $x_1 = x_2$，则函数是一对一的。
   • 证明:
   • 假设 $f_1(x_1) = f_1(x_2)$。
   • 根据定义，这意味着 $x_1 + 1 = x_2 + 1$。
   • 在等式两边同时减去 1，得到 $x_1 = x_2$。
   • 结论: 假设成立，因此 $f_1$ 是一对一的。
2. 检验满射 (surjective)
   • 方法: 对于共域 $\mathbb{R}$ 中的任意一个元素 $y$，我们是否都能在定义域 $\mathbb{R}$ 中找到一个元素 $x$，使得 $f_1(x)=y$。
   • 证明:
   • 任取一个实数 $y \in \mathbb{R}$。
   • 我们需要找一个 $x$ 使得 $f_1(x) = y$，即 $x+1=y$。
   • 解这个关于 $x$ 的方程，得到 $x = y-1$。
   • 因为 $y$ 是一个实数，所以 $y-1$ 也必然是一个实数。这意味着我们总能找到这样一个 $x$ 值。
   • 结论: 对于任意的 $y$，都存在 $x=y-1$ 与之对应，因此 $f_1$ 是满射的。

我们需要找到一个非阿贝尔群 $G$，然后找出它的所有真子群（Proper subgroup，即不等于 $G$ 自身，也不等于平凡子群 $\{\iota\}$ 的子群），并验证这些真子群全都是阿贝尔群。

第一步：选择候选群

我们知道，阶为 1, 2, 3, 4, 5 的群都是阿贝尔群。那么最小的非阿贝尔群就是我们在例子8.7中遇到的 $S_3$，其阶为 6。因此，$S_3$ 是最理想的候选者。

第二步：确定 $S_3$ 是非阿贝尔群

在例子8.7的分析中，我们已经计算过：

$\rho_1 \mu_1 = \mu_3$

$\mu_1 \rho_1 = \mu_2$

因为 $\mu_3 \neq \mu_2$，所以 $S_3$ 是非阿贝尔群。

第三步：找出 $S_3$ 的所有子群

一个群的子群的阶必须整除该群的阶（拉格朗日定理，虽然在第10节才讲，但这里可以用其结论）。$S_3$ 的阶为 6，所以它的子群的阶只可能是 1, 2, 3, 6。

• 阶为 1: 只有一个，即平凡子群 $\{\rho_0\}$。
• 阶为 6: 只有一个，即 $S_3$ 自身。
• 阶为 2: 子群的元素必须是单位元和一个阶为 2 的元素。在 $S_3$ 中，三个翻转操作 $\mu_1, \mu_2, \mu_3$ 的阶都是 2（翻两次就回来了）。因此有三个阶为 2 的子群：
• $H_1 = \{\rho_0, \mu_1\}$
• $H_2 = \{\rho_0, \mu_2\}$
• $H_3 = \{\rho_0, \mu_3\}$
• 阶为 3: 子群的元素必须是一个阶为 3 的元素和它的幂。在 $S_3$ 中，两个旋转操作 $\rho_1, \rho_2$ 的阶都是 3。$\rho_1^2=\rho_2$, $\rho_1^3=\rho_0$。因此只有一个阶为 3 的子群：
• $H_4 = \{\rho_0, \rho_1, \rho_2\} = \langle\rho_1\rangle$

第四步：验证所有真子群都是阿贝尔群

$S_3$ 的真子群是 $H_1, H_2, H_3, H_4$。

• $H_1, H_2, H_3$ 的阶都是 2。任何阶为 2 的群都是循环群，因此都是阿贝尔群。
• $H_4$ 的阶是 3。任何阶为 3 的群都是循环群，因此都是阿贝尔群。

（更一般地，任何素数阶的群都是循环群，因此是阿贝尔群）。

这道题要求我们判断一个特定形式的集合是否为子群。

令 $H_b = \left\{\sigma \in S_{A} \mid \sigma(b)=b\right\}$。这个集合包含了 $S_A$ 中所有能“固定”元素 $b$ 不动的置换。在群论中，它被称为 $b$ 的稳定子群 (stabilizer)。

为了证明 $H_b$ 是 $S_A$ 的子群，我们需要使用子群检验法，即验证三个条件：

1. $H_b$ 非空。
2. $H_b$ 对置换乘法是封闭的。
3. $H_b$ 对求逆是封闭的。

第一步：证明 $H_b$ 非空

• $S_A$ 的单位元是恒等置换 $\iota$，它的作用是 $\iota(a)=a$ 对于所有 $a \in A$。
• 特别地，$\iota(b)=b$。
• 根据 $H_b$ 的定义，任何满足 $\sigma(b)=b$ 的置换 $\sigma$ 都属于 $H_b$。因为 $\iota$ 满足这个条件，所以 $\iota \in H_b$。
• 因此，$H_b$ 至少包含单位元，它不是空集。

第二步：证明封闭性

• 设 $\sigma$ 和 $\tau$ 是 $H_b$ 中的任意两个元素。
• 根据 $H_b$ 的定义，我们有 $\sigma(b)=b$ 和 $\tau(b)=b$。
• 我们需要证明它们的乘积 $\sigma\tau$ 也属于 $H_b$。也就是说，我们需要证明 $(\sigma\tau)(b)=b$。
• 我们来计算 $(\sigma\tau)(b)$：
• $(\sigma\tau)(b) = \sigma(\tau(b))$ (根据函数复合定义)
• 因为 $\tau(b)=b$，所以 $\sigma(\tau(b)) = \sigma(b)$。
• 因为 $\sigma(b)=b$，所以最终结果是 $b$。
• 我们证明了 $(\sigma\tau)(b)=b$，所以 $\sigma\tau \in H_b$。$H_b$ 对置换乘法是封闭的。

第三步：证明对逆元封闭

• 设 $\sigma$ 是 $H_b$ 中的任意一个元素。这意味着 $\sigma(b)=b$。
• 我们需要证明它的逆元 $\sigma^{-1}$ 也属于 $H_b$。也就是说，我们需要证明 $\sigma^{-1}(b)=b$。
• 我们知道 $\sigma(b)=b$。
• 将逆函数 $\sigma^{-1}$ 作用于这个等式的两边：
• $\sigma^{-1}(\sigma(b)) = \sigma^{-1}(b)$
• 等式左边是 $(\sigma^{-1}\sigma)(b)$，根据逆元的定义，它等于 $\iota(b)$，也就是 $b$。
• 所以，我们得到 $b = \sigma^{-1}(b)$。
• 这正是 $\sigma^{-1}$ 属于 $H_b$ 的条件。$H_b$ 对求逆是封闭的。

要证明一个群是非阿贝尔的，我们只需要找到一对元素 $\sigma, \tau$，使得它们的乘积不满足交换律，即 $\sigma\tau \neq \tau\sigma$。

这个证明对所有 $n \ge 3$ 都需要成立。这意味着我们可以在集合 $\{1, 2, \dots, n\}$ 中，只利用其中的三个元素（比如 1, 2, 3）来构造我们的反例。只要我们构造的置换不去动 4, 5, ... 这些元素，那么这个反例在任何 $n \ge 3$ 的 $S_n$ 中都有效。

第一步：构造两个简单的置换

设我们的集合至少包含 $\{1, 2, 3\}$。我们构造两个最简单的置换：

1. 令 $\sigma$ 为交换 1 和 2，保持其他元素不变的置换。

在 $S_n$ 中，$\sigma(1)=2, \sigma(2)=1$，并且对于所有 $k > 2$, $\sigma(k)=k$。

用双行表示法（以 $n=3$ 为例）：$\sigma = \left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3\end{array}\right)$。

1. 令 $\tau$ 为交换 2 和 3，保持其他元素不变的置换。

在 $S_n$ 中，$\tau(2)=3, \tau(3)=2$，并且对于所有 $k \neq 2,3$, $\tau(k)=k$。

用双行表示法（以 $n=3$ 为例）：$\tau = \left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2\end{array}\right)$。

第二步：计算 $\sigma\tau$

我们计算 $\sigma\tau$ (先 $\tau$ 后 $\sigma$) 作用在元素 1, 2, 3 上的结果：

• $(\sigma\tau)(1) = \sigma(\tau(1)) = \sigma(1) = 2$
• $(\sigma\tau)(2) = \sigma(\tau(2)) = \sigma(3) = 3$
• $(\sigma\tau)(3) = \sigma(\tau(3)) = \sigma(2) = 1$

所以 $\sigma\tau$ 是一个 $1 \to 2 \to 3 \to 1$ 的循环。

第三步：计算 $\tau\sigma$

我们计算 $\tau\sigma$ (先 $\sigma$ 后 $\tau$) 作用在元素 1, 2, 3 上的结果：

• $(\tau\sigma)(1) = \tau(\sigma(1)) = \tau(2) = 3$
• $(\tau\sigma)(2) = \tau(\sigma(2)) = \tau(1) = 1$
• $(\tau\sigma)(3) = \tau(\sigma(3)) = \tau(3) = 2$

所以 $\tau\sigma$ 是一个 $1 \to 3 \to 2 \to 1$ 的循环。

第四步：比较结果

我们看到，$(\sigma\tau)(1) = 2$，而 $(\tau\sigma)(1) = 3$。

因为这两个置换作用在同一个元素 1 上得到了不同的结果，所以它们是不相等的置换。

即 $\sigma\tau \neq \tau\sigma$。